Problème du mois

Des racines et encore des racines

Source : Concours AMQ 2009
Niveau : Collégial
Thèmes : Algèbre, Exposants et radicaux, Théorie des nombres, Équations

Problème

Soit $ k= \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}}$ où $n\in\mathbb{N}$. Montrer que $k$ ne tend vers un nombre entier que si $n$ est le produit de deux entiers consécutifs.

Solution

$ k= \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}} \Rightarrow k^2 = n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \cdots}}}}$

$\Rightarrow k^2 = n+k \Rightarrow k^2 - k-n=0 \Rightarrow \displaystyle k = \frac{1\pm\sqrt{1+4n}}{2}$

$k$ étant un nombre positif, il sera un entier si la racine positive $\sqrt{1+4n}$ est un nombre entier impair. On aura donc, pour $s$ entier, que

$$\sqrt{1+4n}=2s+1 \Rightarrow 1+4n = 4s^2 + 4s+1 \Rightarrow 4n = 4s^2+4s$$

Donc $n = s^2+s=s(s+1)$, soit le produit de deux entiers consécutifs.

Rem : On a également que si $k^2-k-n=0$, alors $n=k^2-k=k(k-1)$. Donc, si $k$ est un entier, $n$ sera le produit de deux entiers consécutifs.

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