Mots clés : Collégial, Secondaire (1e cycle), Secondaire (2e cycle), Aire, Algèbre, Analyse, Cercles, Combinatoire, Équations, Équations diophantiennes, Exposants et radicaux, Géométrie, Géométrie de l'espace, Polynômes, Probabilités, Rectangles, Suites et séries, Théorie des nombres, Volume

Des racines et encore des racines

Source : Concours AMQ 2009
Niveau : Collégial
Thèmes : Algèbre, Exposants et radicaux, Théorie des nombres, Équations

Problème

Soit $ k= \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}}$ où $n\in\mathbb{N}$. Montrer que $k$ ne tend vers un nombre entier que si $n$ est le produit de deux entiers consécutifs.

Solution

$ k= \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}} \Rightarrow k^2 = n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \cdots}}}}$

$\Rightarrow k^2 = n+k \Rightarrow k^2 - k-n=0 \Rightarrow \displaystyle k = \frac{1\pm\sqrt{1+4n}}{2}$

$k$ étant un nombre positif, il sera un entier si la racine positive $\sqrt{1+4n}$ est un nombre entier impair. On aura donc, pour $s$ entier, que

$$\sqrt{1+4n}=2s+1 \Rightarrow 1+4n = 4s^2 + 4s+1 \Rightarrow 4n = 4s^2+4s$$

Donc $n = s^2+s=s(s+1)$, soit le produit de deux entiers consécutifs.

Rem : On a également que si $k^2-k-n=0$, alors $n=k^2-k=k(k-1)$. Donc, si $k$ est un entier, $n$ sera le produit de deux entiers consécutifs.