Le pion promeneur

Le pion promeneur

Source : Concours AMQ 1997
Niveau : Collégial
Thème : Probabilités

Problème

Un pion est promené au hasard sur les 9 cases d'un échiquier $3 \times 3$. Les cases sont numérotées selon l'illustration ci-dessous. Au temps 0, le pion est sur la case 1 puis, à chaque unité de temps, le pion est déplacé au hasard vers une des 2, 3 ou 4 cases voisines de celle où il était placé (avec probabilités égales : $1/2$, $1/3$ ou $1/4$ selon le cas). Les mouvements diagonaux sont interdits.

Évaluez la probabilité que la case 3 soit visitée avant la case 9.

Solution

Soit $P_i$ la probabilité que, partant de la case $i$, le pion visite la case 3 avant la case 9. On cherche $P_1$.

Par symétrie, on a $P_4 = P_5 = P_6 = 1/2$. De plus, $P_3 = 1$ et $P_9 = 0$.

Si on part de la case 1, on sera, au temps suivant, sur l'une ou l'autre des cases 2 ou 4 (avec une chance sur deux pour chacune). On en conclut que $$P_1 = \frac{1}{2} P_2 + \frac{1}{2} P_4 = \frac{1}{2} P_2 + \frac{1}{4}.$$ Si on part de la case 2, on sera, au temps suivant, sur l'une ou l'autre des cases 1, 3 ou 5 (avec une chance sur trois pour chacune). On en conclut que $$P_2 = \frac{1}{3} P_1 + \frac{1}{3} P_3 + \frac{1}{5} P_5 = \frac{1}{3} P_1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} P_1 + \frac{1}{2}.$$ Ces deux équations à deux inconnues se résolvent aisément. De l'équation 1, on a
$$P_2 = 2 P_1 - \frac{1}{2}.$$ En substituant cette valeur dans la seconde équation, on obtient $$2P_1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} P_1 + \frac{1}{2}
\Longrightarrow \left( 2 - \frac{1}{3} \right) P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
\Longrightarrow \frac{5}{3} P_1 = 1
\Longrightarrow P_1 = \frac{3}{5}.$$ Réponse: La probabilité cherchée est $\frac{3}{5}$ (ou $60\,\%$.)