Mots clés : Collégial, Secondaire (1e cycle), Secondaire (2e cycle), Aire, Algèbre, Analyse, Cercles, Combinatoire, Équations, Équations diophantiennes, Exposants et radicaux, Géométrie, Géométrie de l'espace, Polynômes, Probabilités, Rectangles, Suites et séries, Théorie des nombres, Volume

Dénombrement de rectangles

Source : Bulletin AMQ (Volume 30, no 3) 1990
Niveau : Secondaire (2e cycle)
Thèmes : Combinatoire, Géométrie, Rectangles

Problème

Déterminer le nombre de rectangles possibles différents mesurant 12 centimètres sur 15 centimètres dans une grille rectangulaire de 50 centimètres sur 60 centimètres, formée de petits carrés égaux d’un centimètre de côté. Le périmètre des rectangles obtenus doit coïncider avec les droites tracées et ceux-ci peuvent empièter sur d’autres rectangles. Deux rectangles tracés sont donc différents si au moins un petit carré n’appartient pas aux deux.

Solution

Soit une grille dont la largeur mesure 50 cm et la longueur, 60 cm.

Traçons des rectangles de 12 cm de largeur et de 15 cm de longueur dans la partie supérieure de la grille ayant 12 cm de largeur. Nous obtenons 46 rectangles.

Traçons des rectangles de 12 cm de largeur et de 15 cm de longueur dans la partie de gauche ayant 15 cm de longueur. Nous en obtenons 39.

Nous aurons donc $46\times 39=1794$ rectangles.

Faisons le même travail avec des rectangles de 12 cm de longueur et de 15 cm de largeur. Nous obtenons 49 rectangles dans la partie supérieure ayant une largeur de 15 cm et 36 dans la partie gauche ayant une longueur de 12 cm.

Nous aurons donc $49\times 36=1764$ rectangles.

Le nombre total est de $1794+1764=3558$.

Des racines et encore des racines

Source : Concours AMQ 2009
Niveau : Collégial
Thèmes : Algèbre, Exposants et radicaux, Théorie des nombres, Équations

Problème

Soit $ k= \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}}$ où $n\in\mathbb{N}$. Montrer que $k$ ne tend vers un nombre entier que si $n$ est le produit de deux entiers consécutifs.

Solution

$ k= \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}} \Rightarrow k^2 = n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \cdots}}}}$

$\Rightarrow k^2 = n+k \Rightarrow k^2 - k-n=0 \Rightarrow \displaystyle k = \frac{1\pm\sqrt{1+4n}}{2}$

$k$ étant un nombre positif, il sera un entier si la racine positive $\sqrt{1+4n}$ est un nombre entier impair. On aura donc, pour $s$ entier, que

$$\sqrt{1+4n}=2s+1 \Rightarrow 1+4n = 4s^2 + 4s+1 \Rightarrow 4n = 4s^2+4s$$

Donc $n = s^2+s=s(s+1)$, soit le produit de deux entiers consécutifs.

Rem : On a également que si $k^2-k-n=0$, alors $n=k^2-k=k(k-1)$. Donc, si $k$ est un entier, $n$ sera le produit de deux entiers consécutifs.

Les cercles dans un rectangle

Source : Concours AMQ 2008
Niveau : Secondaire (2e cycle)
Thèmes : Aire, Cercles, Géométrie

Problème

Deux cercles de rayons de 9 cm et de 17 cm sont contenus dans un rectangle dont un des côtés est de 50 cm. Les deux cercles sont tangents l'un à l'autre et touchent à deux côtés adjacents du rectangle, comme dans la figure. Calculer l'aire du rectangle.

Solution

Dans chacun des deux cercles, on joint le centre aux points de contact avec les côtés du rectangle. On joint ensuite les centres des triangles. On prolonge le rayon vertical du cercle de rayon 17 et le rayon horizontal du cercle de rayon 9. On obtient un triangle rectangle dont l'hypoténuse est de 26 cm et dont un côté de l'angle droit est de 24 cm. L'autre côté de l'angle droit est donc de $X=10$ cm selon le théorème de Pythagore. La hauteur du rectangle est de $X+17+9 = 36$ cm et l'aire du rectangle est de $50\times 36 = 1800\,\text{cm}^2$.

solution